Auf mündliche Kündigung schriftlich reagieren?

Hallo, heute wurde meinem Bruder von dem Abteilungsleiter seines neuen Arbeitgebers mündlich die Kündigung ausgesprochen. In einer Barrage aus Abwertungen und der Anschuldigung, er hätte Betriebsgeheimnisse ausgeplaudert, hat ihm der, wohl etwas cholerische, Abteilungsleiter gesagt, er brauche nicht mehr zu kommen.

Die Anschuldigungen sind natürlich falsch, trotzdem möchte mein Bruder, der sich noch in der Probezeit befindet, in so einem Betriebsklima nicht arbeiten und die mündliche, also eigentlich nicht wirksame, Kündigung annehmen. Er möchte der Personalstelle eine Email schreiben, den Hergang und Inhalt des Gesprächs beschreiben und so schriftlich festhalten und erklären, er würde die Kündigung annehmen.

Meine Frage ist: kann ihm das als eigenverantwortliche Kündigung ausgelegt werden? Also mit der Folge einer Sperrung für ALG1 Bezüge?

Denn die erste Kündigung, die mündliche, ist eigentlich nicht gültig. Wenn er jetzt zuerst schriftlich festhält, dass er die nicht gültige Kündigung trotzdem annimmt, kann es ihm so ausgelegt werden, dass die Kündigung von ihm ausging?